МЕТОД ГЕНЕРИРОВАНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
ПОСРЕДСТВОМ СИСТЕМЫ СТОЯЧИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
А.Н. Морозов amor@bmstu.ru
И.В. Фомин fomin_iv@bmstu.ru
В.О. Гладышев gladyshev@bmstu.ru
В.Л. Кауц kauts@bmstu.ru
Е.А. Шарандин shar@bmstu.ru
А.В. Каютенко akayutenko@bmstu.ru
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
А.Н. Морозов, И.В. Фомин, В.О. Гладышев
92 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6
и внешнем магнитном поле, проведенный в [16–19], подразумевает воз-
можность получения в лабораторных условиях гравитационных волн
с контролируемыми характеристиками, т. е. возможность их усиления.
В настоящей работе в качестве источника гравитационных волн рас-
смотрены две плоские стоячие электромагнитные волны с частотами 1Z
и 2Z в резонаторе Фабри — Перо, в качестве фактора амплификации
гравитационных волн в контексте предложенного метода — зависимость
их амплитуды от разностной частоты стоячих электромагнитных волн
1 2Z Z Z вида 2
0 ,h Z которая является следствием уравнений гра-
витационного поля в рамках линеаризованной теории гравитации Эйн-
штейна. Изучена возможность непосредственно детектирования низко-
частотных гравитационных волн, полученных с использованием предло-
женного метода, на основе существующих и перспективных детекторов.
Гравитационные волны, индуцированные электромагнитными вол-
нами. Уравнения гравитационного поля в рамках ОТО записываются
следующим образом [1]:
1 ,
2
R T g TPQ PQ PQ
§ ·
N ¨ ¸
© ¹ (1)
где 4/ ,8 G cN S G — гравитационная постоянная, c — скорость света
в вакууме; TPQ — тензор энергии–импульса источника гравитационного
поля; gPQ — метрический тензор, определяющий геометрию простран-
ства–времени, , 0,1, 2, 3P Q — индексы; .T T g TU UV
U UV
В рамках линеаризованной ОТО слабые гравитационные поля рас-
сматриваются как малые возмущения пространства Минковского [1]:
1.,g h hPQ PQ PQ PQK
Для некоторого выделенного направления 1x x уравнения грави-
тационного поля (1) в явном виде записываются так [17–19]:
11,00 01,01 00,11 22,00 33,00 002 2 ;h h h h h T N (2)
11,00 01,01 00,11 22,11 33,11 11 ;2 2h h h h h T N (3)
22,01 33,01 01 22,11 22,00 22 33,11 33,00 332 2, , ,2h h T h h T h h T N N N (4)
где
2
, ;
h
h x x
PQ
PQ VU V U
w
w w 0
1 ;
c tx
w w
ww 1 ,
xx
w w
ww
и тензор энергии–импульса TPQ удовлетворяет законам сохранения
Метод генерирования гравитационных волн…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6 93
0.
T
x
PQ
P
w
w (5)
В общем случае система уравнений (2)–(5) может иметь решения
в виде поперечных гравитационных волн, определяемых компонентами
22h и 33 ,h и продольных гравитационных волн 00 ,h 10 ,h 01 ,h 11h [16–19].
В вакууме ( 0)TPQ приведенные уравнения имеют вид:
11,00 01,01 00,11 22,00 33,002 0;h h h h h (6)
11,00 01,01 00,11 22,11 33,112 0;h h h h h (7)
22,01 33,01 22,11 22,00 33,11 33,000 0 0, .,h h h h h h (8)
Следствием системы уравнений (6)–(8) является условие, наложенное
на компоненты продольных гравитационных волн [19]: 11,00 01,012h h
00,11 0.h Таким образом, система уравнений (6)–(8) может быть запи-
сана так:
22,00 33,00 22,01 33,01 22,01 33,010, 0, 0;h h h h h h
22,11 22,00 33,11 33,000, 0.h h h h
Система (6)–(8) имеет решения в виде плоских поперечных гравита-
ционных волн [1]:
22 33 0 cos ,g
x
h h h t c
ª º§ ·
Z ¨ ¸« »© ¹¬
¼
B (9)
где 0 ,h gZ — амплитуда и частота гравитационных волн в пустом про-
странстве; знак «–» соответствует случаю распространения волны в по-
ложительном направлении 1 ,x x знак «+» — в отрицательном.
Следовательно, внутренние решения системы уравнений (2)–(4) для
заданного тензора энергии-импульса TPQ соответствуют гравитационно-
му полю, связанному с источником, а решение (9) в виде плоских попе-
речных гравитационных волн является внешним. Таким образом, сопо-
ставление характеристик связанных и свободных гравитационных волн
предполагает выбор определенного типа источников гравитационного
поля, требующих гравитационно-волнового решения уравнений (2)–(4).
В качестве возможного источника могут рассматриваться электромаг-
нитные волны в различных средах и внешних полях [16–19].
Связь внутренних и внешних решений определяется из условия не-
прерывности плотности потока энергии гравитационных волн [16–19]:
01 0 1 ,
4
c
ct h hDE
DE w w
N , 1, 2, 3,D E
А.Н. Морозов, И.В. Фомин, В.О. Гладышев
94 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6
на границе раздела области, заполненной электромагнитным полем,
и пустого пространства 01 01( ) ( )in outct ct в случае полного поглощения
электромагнитной волны некоторой поверхностью.
Следовательно, анализ связанных с электромагнитным полем грави-
тационных волн представляет интерес как с позиции их отличия от сво-
бодных гравитационных волн в пустом пространстве, так и для оценки
возможности создания источников наблюдаемых гравитационных волн.
Генерирование гравитационных волн системой стоячих электромаг-
нитных волн. В качестве источника гравитационных волн в [17] рассмотре-
ны стоячие электромагнитные волны в электромагнитном резонаторе дли-
ны L с зеркалами, находящимися в точках / 2x L и / 2,x L и ненуле-
выми компонентами электрического и магнитного полей:
1 1 1cos cosy
x x
E E t t
c c
ª º§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹© ¹ © ¹¬ ¼
2 2 2cos cos ;
x x
E t t
c c
ª º§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹© ¹ © ¹¬ ¼ (10)
1 1 1cos cosz
x x
H H t t
c c
ª º§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹© ¹ © ¹¬ ¼
2 2 2cos cos ,
x x
H t t
c c
ª º§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹© ¹ © ¹¬ ¼ (11)
где 1 1 ;E H 22 .E H
Ненулевые компоненты тензора энергии–импульса:
1 2
00 11 cos cos ;
4
E E x x
T T t t
c c
ª º§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸« »S © ¹ © ¹© ¹ © ¹¬ ¼
(12)
1 2
01 10 cos cos .
4
E E x x
T T t t
c c
ª º§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸« »S © ¹ © ¹© ¹ © ¹¬ ¼
(13)
Здесь 1 2Z Z Z — разностная частота. Тензор энергии–импульса
с компонентами (12), (13) удовлетворяет законам сохранения (5).
В таком случае точные решения уравнений гравитационного поля
(3)–(5) имеют вид [17]:
1 2
00 11 3
4 sin
2
GE E L x
h h x t cc
§ ·§ · § ·
Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸
Z © ¹ © ¹© ¹
1 2
3
4 sin ;
2
GE E L x
x t cc
§ ·§ · § ·
Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸
Z © ¹ © ¹© ¹
Метод генерирования гравитационных волн…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6 95
1 2
01 10 3
1 2
3
4 sin
2
4 sin ;
2
GE E L x
h h x t cc
GE E L x
x t cc
§ ·§ · § ·
Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸
Z © ¹ © ¹© ¹
§ ·§ · § ·
Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸
Z © ¹ © ¹© ¹
1 2 1 2
22 33 2 2 2 2
4 4
cos cos .
GE E x GE E x
h h t t
c cc c
§ · § ·§ · § ·
Z Z ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸
Z Z© ¹ © ¹© ¹ © ¹
Внешние гравитационно-волновые решения [17]:
1 2
22 33 02 2
2 cos cos .
GE E x x
h h t h t
c cc
§ · § ·§ · § ·
Z Z¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸
Z © ¹ © ¹© ¹ © ¹
B B
(14)
Таким образом, метрика пространства–времени в окрестности электромаг-
нитного резонатора, заполненного двумя стоячими электромагнитными
волнами, определяется как
2 2 2
0
0
2 2
2
c1 o
,co1
s
s
x
h tds c dt dx dy
dz
c
x
h t c
ª º§ ·§ ·
Z ¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
§ ·§ ·
Z ¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
« »¬ ¼
ª º
« »¬ ¼
B
B
т. е. содержит только компоненты одного из видов поляризации ( , )h x t
0 cos ( / )h t x cZ B гравитационной волны и является диагональной.
В этом случае отношение амплитуд связанных продольных и свобод-
ных поперечных гравитационных волн составляет
0
0
2 .
gw
с
gw
h L L
r h c
§ ·Z
{ S ¨ ¸
O© ¹
Для малой разностной частоты, такой что ( / ) 1,cLZ получим
1,gwr т. е. основная часть гравитационного поля при дальнейшем рас-
пространении гравитационной волны после поглощения электромаг-
нитной находится вне источника в виде низкочастотных поперечных
гравитационных волн с частотой .gwZ Z
Соотношение между параметрами источника и детектора гравита-
ционных волн. В рамках задачи генерирования и детектирования грави-
тационных волн контролируемыми параметрами источника являются
напряженности электрического поля 1 2 0E E E в резонаторе и их раз-
ностная частота ,Z а контролируемым параметром детектора — ампли-
туда регистрируемых гравитационных волн 0 .h
А.Н. Морозов, И.В. Фомин, В.О. Гладышев
96 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6
Рассматривая генерирование стоячих электромагнитных волн c компо-
нентами (10), (11) с использованием лазерного излучения в электромагнит-
ном резонаторе, напряженность электрического поля внутри резонатора
определяем следующим образом:
2
0
8 8 ,L
L
P
E I Q Q
c c S
S S § ·
¨ ¸
© ¹
где Q — добротность резонатора; LP — мощность лазера накачки резона-
тора; S — площадь поперечного сечения пучка. С учетом /(2 )gwf f Z S
из (14) получим выражение для оценки разностной частоты:
1/2
1/2
03
2 .L
gw
G P
f f Q h
Sc
§ ·
¨ ¸
© ¹S
Оценка мощности лазерного излучения:
3 0 2 .
4
L
с Sh
P f
G Q
§ ·S
¨ ¸
© ¹
(15)
Принимая площадь поперечного сечения пучка 2 4 21 см 10 мS и доб-
ротность резонатора 610 ,Q из (15) получаем
2
25 03 10 .
Гц
L
f
P h § ·
¨ ¸
© ¹
(16)
Выражение (16) определяет связь параметров источника и детектора
при реализации опыта Герца, т. е. эксперимента по генерированию и детек-
тированию гравитационных волн с контролируемыми характеристиками
источника и детектора.
Оценки параметров источника и детекторов гравитационных волн.
Рассмотрим оценки мощности лазерного излучения, необходимой для реа-
лизации эксперимента на основе некоторых методов детектирования грави-
тационных волн.
Применим интерферометрический метод для регистрации гравитаци-
онных волн, основанный на наблюдении влияния гравитационного излуче-
ния на интерференционную картину в интерферометрах Майкельсона [3, 4].
В случае низкочастотных гравитационных волн частота лазерного
излучения в интерферометре существенно превышает частоту гравита-
ционных волн ,gwf: т. е. длина гравитационной волны существенно
превосходит размеры плеч .gw LO
Для интерферометров LIGO и KAGRA максимальная чувствитель-
ность 23
0 10h достигается на частоте 100 300gwf ! Гц [20]. Рассмат-
Метод генерирования гравитационных волн…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6 97
ривая эти значения в качестве оптимальных, из (16) получаем мощность
лазерного излучения 6 73 (10 10 )LP Вт, необходимую для реализации
опыта Герца на основе предложенного метода генерирования гравитаци-
онных волн.
Отметим, что новое поколение проектируемых наземных гравитацион-
но-волновых антенн подразумевает чувствительность 25
0 10h на частоте
100gwf Гц (Einstein Telescope) [21] и 26
0 10h на частоте 310gwf Гц
(NEMO) [22]. Таким образом, необходимая мощность лазера накачки резо-
натора оценивается как 4 53 (10 10 )LP Вт.
В качестве детектора гравитационных волн в [23] предложено измере-
ние электрического поля в сверхпроводниках, возникающего под действием
гравитационной волны. На резонансной частоте (соответствующей соб-
ственной частоте колебаний ионов сверхпроводника) 310gwf Гц чувстви-
тельность детекторов оценивалась как 24
0 10 .h Тогда мощность лазерно-
го излучения, необходимая для реализации опыта Герца, 73 10LP Вт.
Оценка влияния упругих деформаций кристаллической решетки в поле
плоской гравитационной волны на оптические свойства кристалла прове-
дена в [24, 25]. В качестве метода детектирования в [24] рассмотрено изме-
рение разности фаз GM двух лучей, распространяющихся в кристалле орто-
гонально направлению распространения гравитационной волны, предель-
ная чувствительность таких детекторов также оценивалась как 24
0 10 .h
Мощность лазерного излучения источника
2
73 10 ,
Гц
L
f
P § ·
¨ ¸
© ¹
т. е. для частоты 310gwf f Гц имеем аналогичную оценку мощности
лазерного излучения 73 10LP Вт. Тем не менее в отличие от предыду-
щего метода в рассматриваемом случае возможно детектирование грави-
тационных волн в более широком диапазоне частоты.
Следовательно, для реализации опыта Герца на основе предложенно-
го метода генерирования гравитационных волн необходим источник
лазерного излучения мощностью 63 10LP t Вт. Хотя мощность совре-
менных лазеров достигает гораздо больших значений 1510LP Вт, такое
излучение генерируется в виде коротких импульсов 1W d нс [26, 27], ана-
литическое описание которых отличается от рассмотренной модели пло-
А.Н. Морозов, И.В. Фомин, В.О. Гладышев
98 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2022. № 6
ских электромагнитных волн (10), (11). Оценка амплитуды гравитацион-
ных волн, индуцируемых подобным коротким импульсом лазерного из-
лучения, рассмотрена в [28] и составляет 37
0 10 .h
При работе в непрерывном режиме для генерирования системы стоячих
электромагнитных волн c компонентами (10), (11) в электромагнитном ре-
зонаторе максимальная мощность лазерного излучения существенно ниже
необходимой 310LP Вт [29]. Для такой мощности излучения из (16) полу-
чим амплитуду индуцированных гравитационных волн порядка 27
0 10h
(с частотой 100gwf Гц) и 29
0 10h (с частотой 310gwf Гц).
Гравитационные волны, индуцированные системой электромагнит-
ных волн на разностной частоте, не могут быть зарегистрированы со-
временными детекторами, поскольку различие амплитуды таких волн
и предела чувствительности современных детекторов составляет 4–5 по-
рядков, а для перспективных детекторов — 2–3 порядка.
Полученный результат можно интерпретировать в качестве техниче-
ских, а не принципиальных проблем при реализации опыта Герца на ос-
нове предложенного метода, которые могут быть решены как использо-
ванием возможностей для увеличения характеристик источника, так
и улучшения чувствительности детекторов гравитационных волн.
Заключение. Рассмотрены методы генерирования и последующего
детектирования гравитационных волн в лабораторных условиях. Источ-
ник гравитационных волн — резонатор Фабри — Перо, заполненный
двумя стоячими электромагнитными волнами. Настраиваемые характе-
ристики источника — напряженности электрического (и магнитного)
поля электромагнитных волн 1E и 2 ,E разностная частота .f
На основе предельной чувствительности в различных экспериментах
по детектированию гравитационных волн получены оценки разностной
частоты и соответствующей ей мощности лазерного излучения в рамках
предложенного метода генерирования гравитационных волн посред-
ством системы электромагнитных волн.
Хотя реалистичные оценки амплитуды низкочастотных гравитаци-
онных волн 27 29
0 10 10 ,h которые могут быть получены в рамках
предложенного метода, не соответствуют возможности их непосред-
ственного детектирования, полученные значения гораздо выше амплиту-
ды высокочастотных гравитационных волн, индуцированных посред-
ством возмущений вещества 40
0 10h или мощным импульсом лазерно-
го излучения 37
0 10 .h
МЕТОД ГЕНЕРИРОВАНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН ПОСРЕДСТВОМ СИСТЕМЫ СТОЯЧИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Модератор: Princess